Question

16．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1右焦點F作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{10}$）
• D． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）

Answer 1

分析 先確定雙曲線的漸近線斜率2＜$\frac{a}$＜3，再根據(jù)$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，即可求得雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可得雙曲線的漸近線斜率的范圍為：2＜$\frac{a}$＜3，
∵$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
∴$\sqrt{5}$＜e＜$\sqrt{10}$，
∴雙曲線離心率的取值范圍為（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)：漸近線方程的運用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是運用離心率公式和漸近線斜率間的關系，屬于中檔題．