Question

5．已知某棱錐的三視圖如圖所示，俯視圖為正方形，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，那么該棱錐外接球的體積是（　�。�

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{8}{3}π$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• D． $\frac{{16\sqrt{2}}}{3}π$

Answer 1

分析 由該棱錐的三視圖判斷出該棱錐的幾何特征，以及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，再求出該棱錐外接球的半徑和體積．

解答 解：由該棱錐的三視圖可知，該棱錐是以邊長為$\sqrt{2}$的正方形為底面，
高為2的四棱錐，做出其直觀圖所示：
則PA=2，AC=2，PC=$2\sqrt{2}$，PA⊥面ABCD，
所以PC即為該棱錐的外接球的直徑，則R=$\sqrt{2}$，
即該棱錐外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
故選：C．

點評 本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)．