Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x＞0}\\{\sqrt{-4x-{x}^{2}}+b，x≤0}\end{array}\right.$在點(diǎn)（1，2）處的切線與f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（　　）

• A． [-8，-4+2$\sqrt{5}$）
• B． （-4-2$\sqrt{5}$，-4+2$\sqrt{5}$）
• C． （-4+2$\sqrt{5}$，8]
• D． （-4-2$\sqrt{5}$，-8]

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)研究在點(diǎn)（1，2）處的切線方程，然后作出函數(shù)圖象，隨著b減小時(shí)，半圓向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A（-4，b）落在切線上時(shí)，在點(diǎn)（1，2）處的切線與f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，直到半圓與直線相切前，切線f（x）的圖象都有三個(gè)公共點(diǎn)，只需求出零界位置的值即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+1，
則f′（x）=2x，
∴f′（1）=2×1=2，
則在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為y=2x，
當(dāng)x≤0時(shí)，y=f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$+b，
即（x+2）²+（y-b）²=4（y≥b）
作出函數(shù)圖象如右圖
隨著b減小時(shí)，半圓向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A（-4，b）落在切線上時(shí)，在點(diǎn)（1，2）處的切線與f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，即b=2×（-4）=-8，
再向下移動(dòng)，直到半圓與直線相切前，切線f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，相切時(shí)與f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
即$\frac{|-4-b|}{\sqrt{5}}$=2，解得b=-4-2$\sqrt{5}$＜-8
∴b的取值范圍是（-4-2$\sqrt{5}$，-8]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)圖象，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和分析問(wèn)題的能力，屬于難題．