Question

7．已知：對(duì)?x∈R，y=（x）滿足f（a+x）=f（b-x）（其中a，b為常數(shù)），求證：y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱．

Answer 1

分析 問題可以等價(jià)為：要證y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，只需證y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱的點(diǎn)P′也在函數(shù)y=f（x）的圖象上．

解答 證明：設(shè)P（x₀，f（x））是y=f（x）上任一點(diǎn)，
點(diǎn)P關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+b-x₀，f（x₀）），
要證y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，
只需證P'（a+b-x₀，f（x₀））也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，過程如下：
∵f（a+x）=f（b-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
∴f（a+b-x₀）=f[a+（b-x₀）]=f[b-（b-x₀）]=f（x₀），
即f（a+b-x₀）=f（x₀），
所以，點(diǎn)P′（a+b-x₀，f（x₀））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
故y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)圖象對(duì)稱性的證明，采用了等價(jià)的方式，即等價(jià)為P的對(duì)稱點(diǎn)P'也在函數(shù)圖象上，屬于中檔題．