Question

15．設(shè)n∈N，且n＞0，試用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

Answer 1

分析 當(dāng)n=1時(shí)，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=31能被31整除，假設(shè)n=k時(shí)，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，則則n=k+1時(shí)，1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1也能被31整除，綜合可得結(jié)論．

解答 證明：當(dāng)n=1時(shí)，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=1+2¹+2²+2³+2⁴=2⁵-1=31能被31整除，
假設(shè)n=k時(shí)，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，
不妨令1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1=31a，a∈Z，
則n=k+1時(shí)，
1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1
=1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k（1+2¹+2²+2³+2⁴）
=31a+31•2^5k也能被31整除，
綜上所述n∈N，且n＞0時(shí)，1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納的證明步驟是解答的關(guān)鍵．