Question

11．在△ABC中，若對(duì)任意t∈R，恒有|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|，則∠C=90°．

Answer 1

分析 利用向量共線的充要條件及向量的三角形運(yùn)算法則得到$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$是以點(diǎn)A為起點(diǎn)以邊BC上任意一點(diǎn)為終邊的向量，得到三角形的邊的關(guān)系|$\overrightarrow{AD}$|＞|AC|不管點(diǎn)D在哪里，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)兩線垂直．

解答 解：如圖，設(shè)t$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BD}$，
∴ $\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DA}$，
∴|$\overrightarrow{AD}$|≥|AC|，
由于上式恒成立，
若∠ACB為銳角，則在線段BC上存在點(diǎn)D，使AD⊥BC
則|$\overrightarrow{AD}$|＜|AC|與已知矛盾
同理若∠ACB為鈍角，也與已知矛盾
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴∠C=90°．
故答案是：90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量平行的充要條件；向量的三角形運(yùn)算法則及三角形的邊的特殊關(guān)系．