Question

某市為充實(shí)干部隊(duì)伍組織了一場(chǎng)面向全市的年輕干部招考，考試分為2部分，第一部分為筆試，第二部分為面試，筆試為在試題庫(kù)中任選4題作答，若答對(duì)3題，再?gòu)拿嬖嚨?個(gè)項(xiàng)目中任選2項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，若2項(xiàng)面試都通過(guò)，則成功進(jìn)入后備干部人才庫(kù)；其他情況下，直接淘汰，若筆試中媒體答對(duì)的概率是

1

2

，面試中每項(xiàng)能通過(guò)的概率是

2

3

，且各次答題、面試都相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求某名考生能成功進(jìn)入后備干部人才庫(kù)的概率；
（Ⅱ）若筆試中每題答對(duì)10分，答錯(cuò)0分，面試中每項(xiàng)測(cè)試通過(guò)10分，不通過(guò)0分，求某名考生此次考試所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)A表示“答對(duì)試題”，B₁表示“第一項(xiàng)面試通過(guò)”，B₂表示“第二項(xiàng)面試通過(guò)”，由P=[P₄（3）+P₄（4）]P（B₁）P（B₂），能求出某名考生能成功進(jìn)入后備干部人才庫(kù)的概率．
（Ⅱ）某名考生此次考試所得分?jǐn)?shù)X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出某名考生此次考試所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A表示“答對(duì)試題”，B₁表示“第一項(xiàng)面試通過(guò)”，B₂表示“第二項(xiàng)面試通過(guò)”，
某名考生能成功進(jìn)入后備干部人才庫(kù)的概率：
P=[P₄（3）+P₄（4）]P（B₁）P（B₂）
=[

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)+

C

4 4

(

1

2

)4]×

2

3

×

2

3

=

5

36

．
（Ⅱ）某名考生此次考試所得分?jǐn)?shù)X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，
P（X=0）=

C

0 4

(

1

2

)4=

1

16

，
P（X=10）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3=

1

4

，
P（X=20）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=30）=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(

.

B1

)=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=40）=

C

4 4

(

1

2

)4P（

.

B1

）+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(B1)P(

.

B2

)
=

1

16

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

1

3

=

11

144

，
P（X=50）=

C

4 4

(

1

2

)4P(B1)P(

.

B2

)+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(B1)P(B2)
=

1

16

×

2

3

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

2

3

=

1

8

，
P（X=60）=

C

4 4

(

1

2

)4P(B1)P(B2)=

1

16

×

2

3

×

2

3

=

1

36

，
∴某名考生此次考試所得分?jǐn)?shù)X的分布列為：

X	0	10	20	30	40	50	60
P	1 16	1 4	3 8	1 12	11 144	1 8	1 36

數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

16

+10×

1

4

+20×

3

8

+30×

1

12

+40×

11

144

+50×

1

8

+60×

1

36

=

155

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，是中檔題．