Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{sin\frac{π}{3}x，3≤x≤9}\end{array}\right.$，若存在實數(shù)a，b，c，d滿足a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$的取值范圍是（18，20.25）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，可得ab=1，再由正弦函數(shù)的對稱性，可得c+d=15，6＜c＜7.5．由二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求范圍．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，
可知|log₃a|=|log₃b|，
即有-log₃a=log₃b，即為ab=1，
當(dāng)x=7.5時，f（x）=sin$\frac{5π}{2}$=1，
即有c+d=15，6＜c＜7.5．
則$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$=（c-3）（d-3）=（c-3）（12-c）
=-c²+15c-36=-（c-7.5）²+20.25．
即有區(qū)間（6，7.5）為增區(qū)間，
即有$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$∈（18，20.25）．
故答案為：（18，20.25）．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象的運用，同時考查二次函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．