Question

11．設(shè)S是由滿足下列兩個條件的實數(shù)所構(gòu)成的集合：
①1∉S；②若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S．請解答下列問題：
（1）若2∈S，則S中必有另外兩個數(shù)，求出這兩個數(shù)；
（2）求證：若a∈S且a≠0，則1-$\frac{1}{a}$∈S；
（3）集合S能否只含有一個元素？若能，求出這個元素；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由2∈S知$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，從而可得$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$∈S；
（2）由a∈S知 $\frac{1}{1-a}$∈S，從而可證明1-$\frac{1}{a}$∈S；
（3）由（1）知，a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，1-$\frac{1}{a}$∈S；再說明三個數(shù)不相等即可．

解答 解：（1）∵2∈S，
∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，
∴$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$∈S；
∴S中其他兩個數(shù)為-1，$\frac{1}{2}$；
（2）證明：∵a∈S，
∴$\frac{1}{1-a}$∈S，
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈S．
（3）解：由（1）知，a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，1-$\frac{1}{a}$∈S；
若a=$\frac{1}{1-a}$，則a²-a+1=0，無解；
故a≠$\frac{1}{1-a}$；
同理可證明：a≠1-$\frac{1}{a}$，1-$\frac{1}{a}$≠$\frac{1}{1-a}$；
故集合S中至少有三個不同的元素．

點評 本題考查了元素與集合的關(guān)系的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．