Question

13．函數(shù)f（x），x∈R．
（1）若對任意實數(shù)a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）若對于任意實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），求證：f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）對任意實數(shù)a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），取a=b=0，可得f（0）=0．任取x=a，-x=b，則f（0）=f（x）+f（-x），即可證明．
（2）任取x₁=x=x₂，則f（2x）+f（0）=2f（x）•f（x）．任取x₁=x=-x₂，則f（0）+f（2x）=2f（x）•f（-x）．可得f（x）[f（-x）-f（x）]=0，即可證明．

解答 證明：（1）∵對任意實數(shù)a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），
取a=b=0，則f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
任取x=a，-x=b，則f（0）=f（x）+f（-x），
則f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁=x=x₂，則f（2x）+f（0）=2f（x）•f（x）．
任取x₁=x=-x₂，則f（0）+f（2x）=2f（x）•f（-x）．
∴f（x）[f（-x）-f（x）]=0，
∴f（x）=0或f（-x）=f（x），x∈R．
∴f（x）為偶函數(shù)．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．