Question

3．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的取值集合；
（2）設(shè)0≤φ≤$\frac{π}{2}$，若函數(shù)f（x+φ）是偶函數(shù)，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，令2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$求得函數(shù)取最大值時(shí)，x的集合．
（2）利用（1）中函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{6}$時(shí)，k∈Z，y取得最大值為2，此時(shí)自變量x的取值集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；  
（2）∵函數(shù)f（x+φ）=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$）是偶函數(shù)，
∴2φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得φ=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴當(dāng)且僅當(dāng)取 k=0時(shí)，得φ=$\frac{π}{6}$，符合0≤φ≤$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．解題過(guò)程中常需要結(jié)合三角函數(shù)的圖象來(lái)解決函數(shù)最值問(wèn)題，屬于基本知識(shí)的考查．