Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=t（t為非負常數(shù)），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n滿足S_n+1=3S_n
（Ⅰ）當(dāng)t=1時，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n+1=3S_n，可知數(shù)列{S_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，即可得出S_n．當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）由（I）可得：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{t，n=1}\\{2nt•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．當(dāng)n=1時，T₁=t．當(dāng)n≥2時，T_n=t+2t（2+3×3+4×3²+…+n•3^n-2），再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）由S_n+1=3S_n，可知數(shù)列{S_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴S_n=3^n-1．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1-3^n-2=2×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）由（I）可得：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{t，n=1}\\{2nt•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)n=1時，T₁=t．
當(dāng)n≥2時，T_n=t+2t（2+3×3+4×3²+…+n•3^n-2），
3T_n=3t+2t[2×3+3×3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1]，
∴-2T_n=-2t+2t（2+3+3²+…+3^n-2-n•3^n-1）=-2t+2t$（1+\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}-n×{3}^{n-1}）$=t（1-2n）•3^n-1-t，
∴T_n=$\frac{（2n-1）t•{3}^{n-1}+t}{2}$．
當(dāng)t=1時，上式也成立．
∴T_n=$\frac{（2n-1）t•{3}^{n-1}+t}{2}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．