Question

13．已知曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+cost}\\{y=1+sint}\end{array}$（t為參數(shù)），C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}$（s為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（2）曲線C₂交曲線C₁于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+cost}\\{y=1+sint}\end{array}$（t為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得曲線C₁化為普通方程；C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}$（s為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程，進(jìn)而得到曲線形狀．
（2）將直線C₂的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}（s為參數(shù)）}\right.$代入曲線C₁直角坐標(biāo)方程中，可得${s^2}-3\sqrt{2}s+4=0$，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+cost}\\{y=1+sint}\end{array}$（t為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得：曲線C₁化為普通方程是（x+2）²+（y-1）²=1，
曲線C₁是圓心為（-2，1），半徑為1的圓；
C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}$（s為參數(shù)），
消去參數(shù)化為普通方程：y=x+4，
曲線C₂是斜率為1，在y軸上截距為4的直線．
（2）將直線C₂的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}（s為參數(shù)）}\right.$代入曲線${C_1}：{（x+2）^2}+{（y-1）^2}=1$中，
得${s^2}-3\sqrt{2}s+4=0$，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為s₁，s₂，
則${s_1}+{s_2}=3\sqrt{2}，{s_1}{s_2}=4$，
∴$|{AB}|=|{{s_1}-{s_2}}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線相交弦長(zhǎng)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．