Question

14．已知定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+2$\sqrt{2-x}$．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）設(shè)g（x）=ax+6-2a（a＞0），若對(duì)于任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有g(shù)（x₂）＞f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，可得到f（-x），然后利用奇偶性得到f（x），再合并成分段函數(shù)的形式給出結(jié)果；
（2）若對(duì)于任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有g(shù)（x₂）＞f（x₁）成立，：只需g（x）_min≥f（x）_max，然后再分別求出兩函數(shù)相應(yīng)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，結(jié)合函數(shù)f（x）是[-1，1]上的偶函數(shù)，
所以f（x）=f（-x）=-x+2$\sqrt{2+x}$，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+2\sqrt{2-x}，x∈[0，1]\\-x+2\sqrt{2+x}，x∈[-1，0]\end{array}\right.$．
（2）因?yàn)閷?duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有g(shù)（x₂）＞f（x₁）成立，則只需g（x）_min≥f（x）_max，
又因?yàn)閥=f（x），x∈[-1，1]是偶函數(shù)，所以f（x）的值域就是f（x）在[0，1]值域．
而當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+2$\sqrt{2-x}$，
令t=$\sqrt{2-x}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
原函數(shù)化為y=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，t∈[1，$\sqrt{2}$]，
顯然t=1時(shí)f（x）_max=3，
又因?yàn)間（x）_min=-3a+6，則由題意得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-3a+6＞3\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1，
即為所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題的第二問(wèn)實(shí)際上是與兩個(gè)函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題，這種類(lèi)型一般分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，然后列出不等式求解．