Question

3．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)AB=6，側(cè)棱長(zhǎng)AA₁=2$\sqrt{7}$，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O上任意一點(diǎn)，有以下判斷：
①PE的長(zhǎng)的最大值為9；
②三棱錐P-EBC的體積的最大值是$\frac{32}{3}$；
③三棱錐P-AEC₁的體積的最大值是20；
④過點(diǎn)E的平面截球O所得截面面積最大時(shí)，B₁C垂直于該截面．
正確的命題是（　�。�

• A． ①④
• B． ②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 球心O在體對(duì)角線的中點(diǎn)，求出球的半徑，然后求OE的長(zhǎng)+半徑，即可判斷①；
O到平面EBC的距離+半徑就是P到平面EBC的距離最大值，再由體積公式計(jì)算即可判斷②；
由三棱錐P-AEC₁體積的表達(dá)式，高即為球的半徑，可求最大值，即可判斷③；
過點(diǎn)E的平面截球O所得截面面積最大時(shí)，即為過球心的大圓面，可為截面ABC₁D₁，顯然B₁C與BC₁不垂直，即可判斷④．

解答 解：對(duì)于①，由題意可知球心O在體對(duì)角線的中點(diǎn)，
直徑為：$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=10，
即球半徑是5，則PE長(zhǎng)的最大值是OP+OE=5+$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{7}）^{2}}$=9，
故①正確；
對(duì)于②，P到平面EBC的距離最大值是5+$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}$=5+$\sqrt{7}$，
三棱錐P-EBC的體積的最大值是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×6×（5+$\sqrt{7}$）
=3（5+$\sqrt{7}$），故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，三棱錐P-AEC₁體積的最大值是V=$\frac{1}{3}$${S}_{△AE{C}_{1}}$•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×8×5=20，
（h最大是半徑）故③正確；
對(duì)于④，過點(diǎn)E的平面截球O所得截面面積最大時(shí)，即為過球心的大圓面，可為截面ABC₁D₁，
顯然B₁C與BC₁不垂直，故④錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)考查球的截面的性質(zhì)和點(diǎn)到面的距離的最大問題，考查體積的運(yùn)算能力和空間想象能力，屬于中檔題．