Question

14．如圖，已知在半徑為4的⊙O中，AB，CD是⊙O的兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連接DE，DE=$\sqrt{15}$．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析 （1）連接AE，BC，由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形AEM與三角形CBM相似，由相似得比例，化簡(jiǎn)后即可得證；
（2）根據(jù)圓周角定理及勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，再由相交弦定理求出EM的長(zhǎng)，根據(jù)所求EM的長(zhǎng)與半徑相等判斷出△OEM為等腰三角形，過(guò)E作EF⊥OM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OF，EF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出sin∠EOB的值．

解答 （1）證明：連接AE，BC，
∵∠AEC與∠MBC都為$\widehat{AC}$所對(duì)的圓周角，
∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（對(duì)頂角相等），
∴△AME∽△CMB，
∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；
（2）解：如圖，∵DC為⊙O的直徑，
∴DE⊥EC，
∵DC=8，DE=$\sqrt{15}$，
∴EC=$\sqrt{D{C}^{2}-D{E}^{2}}$=7，
設(shè)EM=x，由于M為OB的中點(diǎn)，
∴BM=2，AM=6，
∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），
整理得：x²-7x+12=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵EM＞MC，∴EM=4，
∵OE=EM=4，
∴△OEM為等腰三角形，
過(guò)E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=$\frac{1}{2}$OM=1，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴sin∠EOB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，其中證明切線的方法有兩種：有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心證直線與半徑垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線證明垂線段等于半徑．