Question

17．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此三棱柱的體積為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理計(jì)算BC，可發(fā)現(xiàn)BC²+AC²=AB²，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜邊中點(diǎn)的連線中點(diǎn)處，根據(jù)球的面積計(jì)算半徑，得出棱柱的高．

解答 解：在△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{3}$
∴BC²+AC²=AB²，即AC⊥BC．
∴AB為△ABC所在球的截面的直徑．
取AB，A₁B₁的中點(diǎn)D，D₁，則棱柱外接球的球心為DD₁的中點(diǎn)O，
設(shè)外接球的半徑為r，則4πr²=12π，∴r=$\sqrt{3}$．
即OB=$\sqrt{3}$，∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴棱柱的高DD₁=2OD=2$\sqrt{2}$．
∴棱柱的體積V=S_△ABC•DD₁=$\frac{1}{2}×AC×BC×D{D}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$．
故答案為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直三棱柱與外接球的關(guān)系，根據(jù)棱柱底面三角形的形狀找出球心位置是解題關(guān)鍵．