Question

1．在一次智力測試中，有兩個(gè)相互獨(dú)立的題目A、B，答題規(guī)則為：被測試者答對問題A可得分?jǐn)?shù)為a，答對問題B的分?jǐn)?shù)為b，沒有答對不得分．先答哪個(gè)題目由被測試者自由選擇，但只有第一個(gè)問題答對，才能再答第二題，否則終止答題．若你是被測試者，且假設(shè)你答對問題A、B的概率分別為P₁，P₂
（Ⅰ）若P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{1}{3}$，你應(yīng)如何依據(jù)題目分值選擇先答哪一個(gè)題目？
（Ⅱ）若已知a=10，b=20，p₁=$\frac{2}{5}$，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，當(dāng)p₂．在什么范圍時(shí)，選擇先答題A的平均得分不低于選擇先答題B的平均得分？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)先答A的得分為隨機(jī)變量ξ，先答B(yǎng)的得分為隨機(jī)變量為?，求得Eξ 和 E? 的值，可得Eξ-E? 的值，分類討論可得結(jié)論．
（Ⅱ）求得 Eξ-E?=10P₁-20P₂+10P₁P₂，選擇先答題A的平均得分不低于選擇先答題B的平均得分即Eξ≥E?．即10p₁-20p₂+10p₁p₂≥0，由此求得p₂的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)先答A的得分為隨機(jī)變量ξ，先答B(yǎng)的得分為隨機(jī)變量為?．
∵P（ξ=0）=1-P₁；P（ξ=a）=P₁（1-P₂）；P（ξ=a+b）=P₁P₂，∴Eξ=0+a•P₁（1-P₂）+（a+b）P₁P₂．
∵P（?=0）=1-P₂，P（?=b）=P₂（1-P₁），P（?=a+b）=P₁P₂，
∴E?=0+b•P₂（1-P₁）+（a+b）P₁P₂．
∴Eξ-E?=a•P₁（1-P₂）-b•P₂（1-P₁）．
再結(jié)合P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{1}{3}$，可得 Eξ-E?=$\frac{a}{3}$-$\frac{6}$，故當(dāng)a＞$\frac{2}$時(shí)，選擇先答A；a＜$\frac{2}$時(shí)選擇先答B(yǎng)；a=$\frac{2}$時(shí)選擇先答A、B均可．
（Ⅱ）若a=10，b=20，p₁=$\frac{2}{5}$，則 Eξ-E?=10P₁-20P₂+10P₁P₂，
選擇先答題A的平均得分不低于選擇先答題B的平均得分即Eξ≥E?．
即10p₁-20p₂+10p₁p₂≥0，即p₁-2p₂+p₁p₂≥0，所以${p_2}≤\frac{p_1}{{2-{p_1}}}=\frac{1}{4}$，所以$0≤{p_2}≤\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．