Question

12．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=$\frac{2π}{3}$．設(shè)線段AB的中點M在l上的投影為N，則$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|²=a²+b²+ab，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值．

解答 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點分別為Q、P，
連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|²=a²+b²-2abcos$\frac{2π}{3}$=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{a+b}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題給出拋物線的弦AB對焦點F所張的角為直角，求AB中點M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．