Question

11．已知函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$|cos（$\frac{π}{3}$-x）|．
（1）求其定義域和值域；
（2）判斷其奇偶性；
（3）求其周期；
（4）寫出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 分別根據(jù)函數(shù)周期性，奇偶性，定義域和值域，單調(diào)性的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則cos（$\frac{π}{3}$-x）=cos（x-$\frac{π}{3}$）≠0，
得x-$\frac{π}{3}$≠$\frac{π}{2}$+kπ，即x≠$\frac{5π}{6}$+kπ，即函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z}．
∵0＜|cos（$\frac{π}{3}$-x）|≤1．
∴f′（x）≥$lo{g}_{\frac{1}{2}}$1=0，
即函數(shù)的值域為[0，+∞）．
（2）∵函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z}．關(guān)于原點不對稱，
∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（3）∵y=|cos（$\frac{π}{3}$-x）|的周期T=π，
∴函數(shù)f（x）的周期是π．
（4）f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$|cos（$\frac{π}{3}$-x）|=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$|cos（x-$\frac{π}{3}$）|，
設(shè)t=|u|，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），
當2kπ≤x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，即當2kπ+$\frac{π}{3}$≤x＜$\frac{5π}{6}$+2kπ，時，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），為減函數(shù)，t=|u|為增函數(shù)，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，此時f（x）為增函數(shù)，
當$\frac{π}{2}$+2kπ＜x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，即2kπ+$\frac{5π}{6}$＜x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$時，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），為減函數(shù)，t=|u|為減函數(shù)，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，此時f（x）為減函數(shù)，
當2kπ+π≤x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，即當2kπ+$\frac{4π}{3}$≤x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，時，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），為增函數(shù)，t=|u|為減函數(shù)，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，此時f（x）為增函數(shù)，
當$\frac{3π}{2}$+2kπ＜x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，即2kπ+$\frac{5π}{3}$＜x≤2kπ+$\frac{7π}{3}$時，u=cos（x-$\frac{π}{3}$），為增函數(shù)，t=|u|為增函數(shù)，而y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，此時f（x）為減函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，利用復合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．