Question

7．已知拋物C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），M為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，A（a，0）（a≠0）為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直線MA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí)，△MON的面積為$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$，若t值與M點(diǎn)位置無關(guān)，則稱此時(shí)的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）由當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí)，△MON的面積為$\frac{9}{2}$．可得S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×2p=$\frac{{p}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得p即可．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為：x=my+a，與拋物線方程聯(lián)立可得y²-6my-6a=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系．由對(duì)稱性，不妨設(shè)m＞0，（i）a＜0時(shí)，可知y₁，y₂同號(hào)．又t=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，得到t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1-\frac{1}{1+{m}^{2}}）$，可得不論a取何值，t值與M點(diǎn)位置有關(guān)．
（ii）a＞0時(shí)，由于y₁，y₂異號(hào)．又t=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，可得t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1+\frac{\frac{2}{3}a-1}{1+{m}^{2}}）$，可得僅當(dāng)$\frac{2}{3}a$-1=0時(shí)，即a=$\frac{3}{2}$時(shí)，t與m無關(guān)，此時(shí)A即為一個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”．

解答 解：（I）∵當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí)，△MON的面積為$\frac{9}{2}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×2p=$\frac{{p}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得p=3．
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=6x．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為：x=my+a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+a}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$．化為y²-6my-6a=0，
△＞0，
y₁+y₂=6m，y₁y₂=-6a．
由對(duì)稱性，不妨設(shè)m＞0．
（i）a＜0時(shí)，∵y₁y₂=-6a＞0，∴y₁，y₂同號(hào)．
又t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，
∴t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{36{m}^{2}}{36{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1-\frac{1}{1+{m}^{2}}）$，
不論a取何值，t值與M點(diǎn)位置有關(guān)，即此時(shí)的點(diǎn)A不為“穩(wěn)定點(diǎn)”．
（ii）a＞0時(shí)，∵y₁y₂=-6a＜0，∴y₁，y₂異號(hào)．
又t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，
∴t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}•\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$•$\frac{36{m}^{2}+24a}{36{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1+\frac{\frac{2}{3}a-1}{1+{m}^{2}}）$，
∴僅當(dāng)$\frac{2}{3}a$-1=0時(shí)，即a=$\frac{3}{2}$時(shí)，t與m無關(guān)，此時(shí)A即為拋物線的焦點(diǎn)，
因此拋物線對(duì)稱軸上僅有焦點(diǎn)一個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．