Question

7．已知拋物C的標準方程為y²=2px（p＞0），M為拋物線C上一動點，A（a，0）（a≠0）為其對稱軸上一點，直線MA與拋物線C的另一個交點為N．當A為拋物線C的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時，△MON的面積為$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）記t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$，若t值與M點位置無關，則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”，試求出所有“穩(wěn)定點”，若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由當A為拋物線C的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時，△MON的面積為$\frac{9}{2}$．可得S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×2p=$\frac{{p}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得p即可．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為：x=my+a，與拋物線方程聯(lián)立可得y²-6my-6a=0，得到根與系數的關系．由對稱性，不妨設m＞0，（i）a＜0時，可知y₁，y₂同號．又t=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，得到t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1-\frac{1}{1+{m}^{2}}）$，可得不論a取何值，t值與M點位置有關．
（ii）a＞0時，由于y₁，y₂異號．又t=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，可得t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1+\frac{\frac{2}{3}a-1}{1+{m}^{2}}）$，可得僅當$\frac{2}{3}a$-1=0時，即a=$\frac{3}{2}$時，t與m無關，此時A即為一個“穩(wěn)定點”．

解答 解：（I）∵當A為拋物線C的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時，△MON的面積為$\frac{9}{2}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×2p=$\frac{{p}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得p=3．
∴拋物線C的標準方程為y²=6x．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為：x=my+a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+a}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$．化為y²-6my-6a=0，
△＞0，
y₁+y₂=6m，y₁y₂=-6a．
由對稱性，不妨設m＞0．
（i）a＜0時，∵y₁y₂=-6a＞0，∴y₁，y₂同號．
又t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，
∴t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{36{m}^{2}}{36{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1-\frac{1}{1+{m}^{2}}）$，
不論a取何值，t值與M點位置有關，即此時的點A不為“穩(wěn)定點”．
（ii）a＞0時，∵y₁y₂=-6a＜0，∴y₁，y₂異號．
又t=$\frac{1}{|AM|}$$+\frac{1}{|AN|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}|}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}|{y}_{2}|}}$，
∴t²=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$$•\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}•\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$•$\frac{36{m}^{2}+24a}{36{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（1+\frac{\frac{2}{3}a-1}{1+{m}^{2}}）$，
∴僅當$\frac{2}{3}a$-1=0時，即a=$\frac{3}{2}$時，t與m無關，此時A即為拋物線的焦點，
因此拋物線對稱軸上僅有焦點一個“穩(wěn)定點”．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．