Question

（2009•宜昌模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點(n，

Sn

n

)都在函數(shù)f（x）=x+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）將數(shù)列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₅+b₁₀₀的值；
（3）設(shè)A_n為數(shù)列{

an-1

an

}的前n項積，若不等式An

an+1

＜f(a-1)-

3

2a

對一切n∈N^*都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

n

=n+1即 S_n=n²+n．再利用a₁=S₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，故可求；
（2）由a_n=2n可得數(shù)列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)，所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個所有第4個數(shù)分別組成都是等差數(shù)列，公差均為20．故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．代入可求
（3）因為

an-1

an

=1-

1

an

，An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)•

2n+1

，可證{An

an+1

}單調(diào)遞減，從而(An

an+1

)max=A1

a1+1

=

3

2

，故有f(a-1)-

3

2a

＞

3

2

即a-

3

2a

＞

3

2

恒成立，從而可求a的范圍

解答：解：（1）∵點(n，

Sn

n

)都在函數(shù)f（x）=x+1的圖象上，∴

Sn

n

=n+1即S_n=n²+n----------------------2’
∴a₁=S₁=2當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n----------------3’
顯然，n=1時，滿足上述等式，∴a_n=2n（n∈N^*）---------------------4’
（2）由已知可知：原數(shù)列按1、2、3、4項循環(huán)分組，每組中有4個括號，每組中共有10項，
因此第100個括號應在第25組第4個括號---------------------------------------------6’
該括號內(nèi)四項分別為a₂₄₇、a₂₄₈、a₂₄₉、a₂₅₀-----------------------------------------7’
因此b₁₀₀=a₂₄₇+a₂₄₈+a₂₄₉+a₂₅₀=494+496+498+500=1988-------------9’
又b₅=a₁₁=22，∴b₅+b₁₀₀=2010------------------------------------------------10’
（3）∵An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)•

2n+1

---------------------------11’
∴

An+1 an+1+1

An an+1

=

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )(1- 1 an+1 )• 2n+3

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )• 2n+1

=

2n+1 2n+2 2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1恒成立----------------13’
∴{An

an+1

}單調(diào)遞減，∴(An

an+1

)max=A1

a1+1

=

3

2

---------------15’
∴f(a-1)-

3

2a

＞

3

2

即a-

3

2a

＞

3

2

恒成立---------------------------------------16’
∴

2a2- 3 a-3

2a

＞0即

(2a+ 3 )(a- 3 )

2a

＞0∴a的取值范圍為(-

3

2

，0)∪(

3

，+∞)-----------18’

點評：本題綜合考查了利用函數(shù)的解析式求解數(shù)列的遞推公式進而求解數(shù)列的項，等差數(shù)列的求和公式的應用，及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（�。╉梿栴}的求解，屬于函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應用的考查