Question

如圖，直角梯形中，,,平面平面,為等邊三角形，分別是的中點，.

(1)證明：;

(2)證明：平面;

(3)若,求幾何體的體積.

 

 

Answer 1

（1）由為等邊三角形，是的中點知，由平面平面及面面垂直性質(zhì)定理知，平面，再由線面垂直定義得EF⊥CD；（2）取AE的中點G，連結(jié)MG，DG，因為M是BE的中點，所以MG∥且等于AB的一半，又因為AB∥CD且AB=，，所以DN平行且等于MG，所以MGDN是平行四邊形，所以MN∥DG，由線面平行的判定定理可得MN∥面ADE；（3）由（1）知EF⊥面ABCD，所以EF是四棱錐E-ABCD的高，由△BEC為正三角形，BC=2，可求得EF的長，由題知ABCD為直角梯形，AB⊥BC，AB=1，BC=2，所以DC=2AB=2，可求出底面ABCD的面積，所以四棱錐D-ABCD的體積就等于.

【解析】

試題分析：（1）（2）（3）

試題解析：(1)證明： 為等邊三角形，是的中點

1分

又因為平面平面，交線為,平面

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得 平面; 3分

又平面

4分

(2)證明：取中點G，連接

,且 6分

,

,且 8分

四邊形是平行四邊形

9分

又平面，平面

平面 10分

(3)【解析】
依題，直角梯形中，

則直角梯形的面積為 12分

由（1）可知平面，是四棱錐的高

在等邊中，由邊長,得 13分

故幾何體的體積為

14分

考點: 線面垂直定義；面面垂直性質(zhì)定理；線面平行的判定；簡單幾何體體積計算；邏輯推理能力；運算求解能力