Question

15．已知定義在R上函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，且在[1，+∞）上單調(diào)，若數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₆）=f（a₂₀），則{a_n}的前25項之和為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{25}{2}$
• C． 25
• D． 50

Answer 1

分析 由已知得函數(shù)y=f（x）對任意自變量x都有f（x+1）=f（1-x），即有函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，從而得到a₆+a₂₀=2，運用等差數(shù)列的求和公式，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由定義在R上函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，
可得函數(shù)y=f（x）對任意自變量x都有f（x+1）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，
又函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，
數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₆）=f（a₂₀），
∴a₆+a₂₀=2，
∴S₂₅=$\frac{25}{2}$（a₁+a₂₅）=$\frac{25}{2}$（a₆+a₂₀）=$\frac{25}{2}$×2=25．
故選：C．

點評 本題考查等差數(shù)列的前25項之和的求法，是中檔題，注意函數(shù)性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．