Question

3．已知集合M是滿足下列性制的函數f（x）的全體，存在實數a、k（k≠0），對于定義域內的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，稱數對（a，k）為函數f（x）的“伴隨數對”．
（1）判斷f（x）=x²是否屬于集合M，并說明理由；
（2）若函數f（x）=sinx∈M，求滿足條件的函數f（x）的所有“伴隨數對”；
（3）若（1，1），（2，-1）都是函數f（x）的“伴隨數對”，當1≤x＜2時，f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x）；當x=2時，f（x）=0，求當2014≤x≤2016時，函數y=f（x）的解析式和零點．

Answer 1

分析 （1）f（x）=x²的定義域為R．假設存在實數a、k（k≠0），對于定義域內的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，則（a+x）²=k（a-x）²，化為：（k-1）x²-2a（k+1）x+a²（k-1）=0，由于上式對于任意實數x都成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{2a（k+1）=0}\\{{a}^{2}（k-1）=0}\end{array}\right.$，解得k，a．即可得出．
（2）函數f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a-x），展開化為：$\sqrt{{k}^{2}+2kcos2a+1}$sin（x+φ）=0，由于?x∈R都成立，可得k²+2kcos2a+1=0，變形cos2a=$-\frac{1}{2}（k+\frac{1}{k}）$，利用基本不等式的性質與三角函數的單調性即可得出．
（3）由于（1，1），（2，-1）都是函數f（x）的“伴隨數對”，可得f（1+x）=f（1-x），f（2+x）=-f（2-x），因此f（x+4）=f（x），T=4．對x分類討論可得：即可得出解析式，進而得出零點．

解答 解：（1）f（x）=x²的定義域為R．
假設存在實數a、k（k≠0），對于定義域內的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，
則（a+x）²=k（a-x）²，化為：（k-1）x²-2a（k+1）x+a²（k-1）=0，
由于上式對于任意實數x都成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{2a（k+1）=0}\\{{a}^{2}（k-1）=0}\end{array}\right.$，解得k=1，a=0．
∴（0，1）是函數f（x）的“伴隨數對”，f（x）∈M．
（2）∵函數f（x）=sinx∈M，
∴sin（a+x）=ksin（a-x），∴（1+k）cosasinx+（1-k）sinacosx=0，
∴$\sqrt{{k}^{2}+2kcos2a+1}$sin（x+φ）=0，
∵?x∈R都成立，∴k²+2kcos2a+1=0，
∴cos2a=$-\frac{1}{2}（k+\frac{1}{k}）$，$|k+\frac{1}{k}|$≥2，
∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，
故|cos2a|=1．
當k=1時，cos2a=-1，a=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z．
當k=-1時，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
∴f（x）的“伴隨數對”為（nπ+$\frac{π}{2}$，1），（nπ，-1），n∈Z．
（3）∵（1，1），（2，-1）都是函數f（x）的“伴隨數對”，
∴f（1+x）=f（1-x），f（2+x）=-f（2-x），
∴f（x+4）=f（x），T=4．
當0＜x＜1時，則1＜2-x＜2，此時f（x）=f（2-x）=-cos$（\frac{π}{2}x）$；
當2＜x＜3時，則1＜4-x＜2，此時f（x）=-f（4-x）=-cos$（\frac{π}{2}x）$；
當3＜x＜4時，則0＜4-x＜1，此時f（x）=-f（4-x）=cos$（\frac{π}{2}x）$．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），0＜x＜1}\\{cos（\frac{π}{2}x），1＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2＜x＜3}\\{cos（\frac{π}{2}x），3＜x＜4}\\{0，x=0，1，2，3，4}\end{array}\right.$．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），2014＜x＜2015}\\{cos（\frac{π}{2}x），2015＜x＜2016}\\{0，x=2014，2015，2016}\end{array}\right.$．
∴當2014≤x≤2016時，函數y=f（x）的零點為2014，2015，2016．

點評 本題考查了新定義“伴隨數對”、三角函數的單調性、基本不等式的性質，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．