Question

已知G點(diǎn)為△ABC的重心，且

AG

⊥

BG

，若

1

tanA

+

1

tanB

=

2λ

tanC

，則實(shí)數(shù)λ的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：首先根據(jù)三角形的重心性質(zhì)及直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，得到CD=

3

2

AB，再應(yīng)用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，將

1

tanA

+

1

tanB

=

2λ

tanC

應(yīng)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得λ=

sin2C

2sinAsinBcosC

，然后運(yùn)用正弦定理和余弦定理，結(jié)合前面的結(jié)論，即可求出實(shí)數(shù)λ的值．

解答： 解：如圖，連接CG，延長(zhǎng)交AB于D，
由于G為重心，故D為中點(diǎn)，
∵AG⊥BG，∴DG=

1

2

AB，
由重心的性質(zhì)得，CD=3DG，即CD=

3

2

AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=

1

2

AB²+

9

2

AB²=5AB²，
又∵

1

tanA

+

1

tanB

=

2λ

tanC

，
∴

cosA

sinA

+

cosB

sinB

=

2λcosC

sinC

，
∴λ=

(sinAcosB+cosAsinB)sinC

2sinAsinBcosC

=

sin2C

2sinAsinBcosC

=

AB2

2BC•AC•cosC

=

AB2

BC2+AC2-AB2

=

AB2

5AB2-AB2

=

1

4

．
即λ=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形中的正弦定理與余弦定理及應(yīng)用，考查三角恒等變換，三角形的重心的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，有一定的難度．