Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若M為橢圓上一點(diǎn)，且在y軸右側(cè)，N為x軸上一點(diǎn)，∠OMN=90°，則點(diǎn)N橫坐標(biāo)的最小值為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件，結(jié)合橢圓性質(zhì)，推導(dǎo)出MN的直線方程為y-b=（-

a

b

）（x-a），解得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)x=a+

b2

a

，由此利用均值定理能求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小值．

解答： 解：橢圓

x2

4

+y2=1，
∵點(diǎn)M（a，b）為橢圓上y軸右側(cè)的點(diǎn)，∴a＞0，
OM的斜率k=

b

a

當(dāng)點(diǎn)M在頂點(diǎn)（2，0）上時(shí)，x軸上不存在點(diǎn)N使得∠OMN=90°
∴k=

a

b

不為0，
∴MN的斜率k=-

1

b a

=-

a

b

，
∴MN的直線方程為y-b=（-

a

b

）（x-a），
令y=0：-b=（-

a

b

）（x-a）
解得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)x=a+

b2

a

，
∵

a2

4

+b²=1，b²=1-

a2

4

，
∴x=a+

1- a2 4

a

=a+

1

a

-

a

4

=

3a

4

+

1

a

≥2

3a 4 • 1 a

=

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)

3a

4

=

1

a

，即a=

2 3

3

時(shí)取得最小值

3

，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小值為

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)，要注意均值定理的合理運(yùn)用．