Question

15．已知正三角形A₁A₂A₃，A₄、A₅、A₆分別是所在棱的中點，如圖，則當(dāng)1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j時，數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)量積的個數(shù)為9．

Answer 1

分析 以A₁A₂所在直線為x軸，中點A₄為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)A₁（-1，0），A₂（1，0），A₃（0，$\sqrt{3}$），A₄（0，0），A₅（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A₆（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），運用向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求個數(shù)．

解答 解：以A₁A₂所在直線為x軸，中點A₄為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，
可設(shè)A₁（-1，0），A₂（1，0），A₃（0，$\sqrt{3}$），
A₄（0，0），A₅（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A₆（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
可得$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=（2，0），
若i=1，則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$+1），
可得4，2，2，1，3；
若i=2，則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$-1），
可得-4，-2，-2，-3，-1；
若i=3，則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$），
可得-2，2，0，-1，1；
若i=4，則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$），
可得-2，2，0，-1，1；
若i=5，則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$+$\frac{1}{2}$），
可得-1，3，1，1，2；
若i=6，則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$-$\frac{1}{2}$），
可得-3，1，-1，-1，-2．
綜上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9個．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．