Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．
（2）若f（x）定義在[-4，+∞）上，且對f（x）定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，f（cosx+b+$\frac{1}{4}$）≥f（sin²x-b-3）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為R上的奇函數(shù)便有f（0）=0，這樣便可求出a的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{2•{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0，從而得出f（x）在[-4，+∞）上為增函數(shù)，從而根據(jù)$f（cosx+b+\frac{1}{4}）≥f（si{n}^{2}x-b-3）$便可得到$cosx+b+\frac{1}{4}≥si{n}^{2}x-b-3$恒成立，進(jìn)一步得到$b≥\frac{1}{2}[-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-2]$恒成立，這樣即可得到b≥-1．而同理根據(jù)f（x）的定義域即可得出$\left\{\begin{array}{l}{cosx+b+\frac{1}{4}≥-4}\\{si{n}^{2}x-b-3≥-4}\end{array}\right.$恒成立，這樣又可得到b的一個范圍，同前面的b≥-1求交集即可得出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）為R上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
即$\frac{a+a-2}{2}=0$；
∴a=1；
（2）$f′（x）=\frac{2•{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}＞0$；
∴f（x）在[-4，+∞）上單調(diào)遞增；
∴由$f（cosx+b+\frac{1}{4}）≥f（si{n}^{2}x-b-3）$得，$cosx+b+\frac{1}{4}≥si{n}^{2}x-b-3$；
∴$b≥\frac{1}{2}[-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-2]$；
$cosx=-\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2}[-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-2]$取最大值-1；
∴b≥-1；
∵f（x）定義在[-4，+∞）上；
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosx+b+\frac{1}{4}≥-4}\\{si{n}^{2}x-b-3≥-4}\end{array}\right.$恒成立；
即$\left\{\begin{array}{l}{b≥-cosx-\frac{17}{4}}\\{b≤si{n}^{2}x+1}\end{array}\right.$恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥-\frac{13}{4}}\\{b≤1}\end{array}\right.$；
∴綜上得，實數(shù)b的取值范圍為[-1，1]．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及增函數(shù)的定義，配方求二次式子最值的方法，熟悉正余弦函數(shù)的值域，根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的方法，注意正確求導(dǎo)．