Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的圖象如圖所示．
（1）求c，d的值；
（2）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{1}{3}$f′（x）+5x+m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），且f′（1）=0，建立方程，即可求c，d的值；
（2）利用函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，建立方程，即可求出a，b，從而可求函數(shù)f（x）的解析式．
（3）求導(dǎo)后得到函數(shù)的極值點(diǎn)，求出極大值和極小值利用數(shù)形結(jié)合的解題思想得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b…（3分）
（1）由圖可知，函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），且f′（1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3a+2b+c-3a-2b=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{c=0}\end{array}\right.$．…（7分）
（2）依題意  f′（2）=-3且f（2）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-3a-2b=-3}\\{8a+4b-6a-4b+3=5}\end{array}\right.$
解得a=1，b=-6，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3…（12分）
（3）f′（x）=3x²-12x+9．可轉(zhuǎn)化為：x³-6x²+9x+3=（x²-4x+3）+5x+m有三個(gè)不等實(shí)根，即：g（x）=x³-7x²+8x-m與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；
g′（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），

x	（-∞，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，4）	4	（4，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（$\frac{2}{3}$）=$\frac{68}{27}-m$，g（4）=-16-m．
當(dāng)且僅當(dāng)g（$\frac{2}{3}$）=$\frac{68}{27}-m$＞0，且g（4）=-16-m＜0時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，故而，-16＜m＜$\frac{68}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的解析式，屬于中檔題．