Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=ln（n+1）-a．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=e${\;}^{{a}_{n}}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），定義：$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n，求$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a分類討論，利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）對(duì)a分類討論，利用“累乘求積”即可得出

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=ln2-a；當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=ln（{n+1}）-a-（{lnn-a}）=ln（{n+1}）-a-lnn+a=ln（{n+1}）-lnn=ln\frac{n+1}{n}$，
當(dāng)a=0時(shí)，a₁=ln2，適合此等式，當(dāng)a≠0時(shí)，a₁=ln2-a≠ln2，不適合此等式，
∴當(dāng)a=0時(shí)，${a_n}=ln\frac{n+1}{n}（{n∈{N^*}}）$；當(dāng)a≠0時(shí)，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}ln2-a，n=1\\ ln\frac{n+1}{n}，n≥2\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，${b_n}={e^{a_n}}={e^{ln\frac{n+1}{n}}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=n+1．
當(dāng)a≠0時(shí)，${b_n}={e^{a_n}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{e^a}，n=1\\ ln\frac{n+1}{n}，n≥2\end{array}\right.$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n=$\frac{2}{{e}^{a}}$×$\frac{3}{2}×\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{n+1}{{e}^{a}}$．
綜上，$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=$\frac{n+1}{{e}^{a}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“累乘求積”、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．