【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,橢圓 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為F1(﹣1,0),離心率.
(1)求橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn),直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn),且 ,如圖所示.
①證明: ;
②求四邊形 的面積 的最大值.
【答案】(1) (2)①見解析②
【解析】試題分析:
(1)由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求得,則,橢圓方程為;
(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo):A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
①聯(lián)立直線方程與橢圓的方程,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),結(jié)合|AB|=|CD|得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式,整理所得的等式可得m1+m2=0;
②由題意求得面積函數(shù),結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知當(dāng)2k2+1=2m12時(shí),四邊形ABCD 的面積S 的最大值為.
試題解析:
(1)設(shè)橢圓G的方程為(a>b>0)
∵左焦點(diǎn)為F1(﹣1,0),離心率e=.∴c=1,a=,
b2=a2﹣c2=1
橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)
①證明:由消去y得(1+2k2)x2+4km1x+2m12﹣2=0
,
x1+x2=,x1x2=;
|AB|==2;
同理|CD|=2,
由|AB|=|CD|得2=2,
∵m1≠m2,∴m1+m2=0
②四邊形ABCD 是平行四邊形,設(shè)AB,CD間的距離d=
∵m1+m2=0,∴
∴s=|AB|×d=2×
=.
所以當(dāng)2k2+1=2m12時(shí),四邊形ABCD 的面積S 的最大值為2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在區(qū)間的最值;
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍,使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A、B在拋物線上,且∠AFB=90°,弦AB中點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為M1 , 則 的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn+an=4,n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知cn=2n+3(n∈N*),記dn=cn+logCan(C>0且C≠1),是否存在這樣的常數(shù)C,使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列,若存在,求出C的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若數(shù)列{bn},對(duì)于任意的正整數(shù)n,均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=( )n﹣ 成立,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),|f(x)|≤1恒成立,則2a+b的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了測(cè)量山頂M的海拔高度,飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,A,B,M在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)(如圖).能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角、飛機(jī)的高度和A,B兩點(diǎn)間的距離.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,包括:
(1)指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出);
(2)用文字和公式寫出計(jì)算山頂M海拔高度的步驟.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, ,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GD⊥EF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為( )
A.[ ,1)
B.[ ,1]
C.( ,1)
D.[ ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別為雙曲線C: ﹣ =1的左、右焦點(diǎn),若存在過F1的直線分別交雙曲線C的左、右支于A,B兩點(diǎn),使得∠BAF2=∠BF2F1 , 則雙曲線C的離心率e的取值范圍是( )
A.(3,+∞)
B.(1,2+ )
C.(3,2+ )
D.(1,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,.
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 的最小值; (Ⅱ)當(dāng) 時(shí),討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意的 ,且,有,恒成立,若存在求出的取值范圍,若不存在,說(shuō)明理由。
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