Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對任意x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，則（　�。�

• A． f（ln2015）＜2015f（0）
• B． f（ln2015）=2015f（0）
• C． f（ln2015）＞2015f（0）
• D． f（ln2015）與2015f（0）的大小關(guān)系不確定

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（ln2015）與g（0）的大小關(guān)系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因?yàn)閷θ我鈞∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上單調(diào)遞增，
又ln2015＞0，所以g（ln2015）＞g（0），即$\frac{f（ln2015）}{{e}^{ln2015}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
所以 f（ln2015）＞2015f（0），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．