Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都為矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）設(shè)D、E分別是線段BC、CC₁的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A₁MC？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用AC⊥BC，可以證明直線BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)M，連接A₁M，MC，A₁C，AC₁，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都為矩形，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB∩AC=A，
∴AA₁⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AC⊥BC，AA₁∩AC=A，
∴直線BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：取AB的中點(diǎn)M，連接A₁M，MC，A₁C，AC₁，設(shè)O為A₁C，AC₁的交點(diǎn)，則O為AC₁的中點(diǎn)．
連接MD，OE，則MD∥AC，MD=

1

2

AC，OE∥AC，OE=

1

2

AC，
∴MD∥OE，MD=OE，
連接OM，則四邊形MDEO為平行四邊形，
∴DE∥MO，
∵DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，
∴DE∥平面A₁MC，
∴線段AB上存在一點(diǎn)M（線段AB的中點(diǎn)），使直線DE∥平面A₁MC．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，考查存在性問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．