Question

如圖，四棱錐P-ABCD，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M為BC上的一點(diǎn)，且BM=

1

2

，MP⊥AP．
（Ⅰ）求PO的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求二面角A-PM-C的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC，BD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系O-xyz，分別求出向量

AP

，

MP

的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)MP⊥AP，得到

AP

•

MP

=0，進(jìn)而求出PO的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角的余弦值，進(jìn)而根據(jù)平方關(guān)系可得：二面角A-PM-C的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）連接AC，BD，
∵底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系O-xyz，

∵AB=2，∠BAD=

π

3

，
∴OA=AB•cos（

1

2

∠BAD）=

3

，OB=AB•sin（

1

2

∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），

OB

=（0，1，0），

BC

=（-

3

，-1，0），
又∵BM=

1

2

，
∴

BM

=

1

4

BC

=（-

3

4

，-

1

4

，0），
則

OM

=

OB

+

BM

=（-

3

4

，

3

4

，0），
設(shè)P（0，0，a），則

AP

=（-

3

，0，a），

MP

=（

3

4

，-

3

4

，a），
∵M(jìn)P⊥AP，
∴

AP

•

MP

=

3

4

-a²=0，
解得a=

3

2

，
即PO的長(zhǎng)為

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

AP

=（-

3

，0，

3

2

），

MP

=（

3

4

，-

3

4

，

3

2

），

CP

=（

3

，0，

3

2

），
設(shè)平面APM的法向量

m

=（x，y，z），平面PMC的法向量為

n

=（a，b，c），
由

m • AP =0 m • MP =0

，得

- 3 x+ 3 2 z=0 3 4 x- 3 4 y+ 3 2 z=0

，
令x=1，則

m

=（1，

5 3

3

，2），
由

n • CP =0 n • MP =0

，得

3 a+ 3 2 c=0 3 4 a- 3 4 b+ 3 2 c=0

，
令a=1，則

n

=（1，-

3

，-2），
∵平面APM的法向量

m

和平面PMC的法向量

n

夾角θ滿(mǎn)足：
cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

1-5-4

40 3 • 8

=-

15

5

故sinθ=

1-cos2θ

=

10

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．