Question

8．函數(shù)f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)取值極值轉(zhuǎn)化為f′（x）=0有兩個(gè)不同的根進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2axe^x+（1+ax²）e^x=（1+2ax+ax²）e^x，
若f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則f′（x）=（1+2ax+ax²）e^x，在R上不是單調(diào)函數(shù)，
即即f′（x）=（1+2ax+ax²）e^x=0，由兩個(gè)不等的實(shí)根，
即1+2ax+ax²=0，有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則判別式△=4a²-4a＞0，
即a＞1或a＜0，
故答案為：（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f′（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根是解決本題的關(guān)鍵．