Question

17．已知圓x²+y²=R²過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點F，且與雙曲線在第一，三象限的交點分別為M，N，若∠MNF=$\frac{π}{12}$時，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=$±\sqrt{3}$x
• C． y=±x
• D． y=±2x

Answer 1

分析 由對稱性可得MN過原點O，可得MF⊥NF，運用正切函數(shù)的定義和雙曲線的定義，求得MF，NF，再由勾股定理和漸近線方程即可得到所求．

解答 解：由對稱性可得MN過原點O，可得
MF⊥NF，即有tan∠MNF=$\frac{|MF|}{|NF|}$=tan$\frac{π}{12}$=2-$\sqrt{3}$，
由雙曲線的定義可得|NF|-|MF|=|MF'|-|MF|=2a，
解得|MF|=（$\sqrt{3}$-1）a，|NF|=（$\sqrt{3}$+1）a，
在直角三角形MFF'中，由勾股定理可得，
4c²=（$\sqrt{3}$-1）²a²+（$\sqrt{3}$+1）²a²，
即為c²=2a²，即有b²=c²-a²=a²，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即y=±x．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程求法，注意運用雙曲線的定義和對稱性，以及直徑所對的圓周角為直角，正切函數(shù)的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．