Question

（理科做）  設函數(shù)f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1）
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從2，3，4，5四個數(shù)中任取一個數(shù)，求f （x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：不等式的解法及應用,概率與統(tǒng)計

分析：（1）變形化簡，利用均值不等式求解f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a，
（2）于是f（x）＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為：（

a

+1）²＞b成立．設事件A：“f（x）＞b恒成立”，運用列舉的方法求解事件個數(shù)，運用概率公式求解．

解答： （1）解：x＞1，a＞0，
f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1
=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²
∴f（x）_min=（

a

+1）²
（2）則基本事件總數(shù)為12個，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個
由古典概型得：P（A）=

10

12

=

5

6

點評：本題考察了不等式的應用，古典概率的求解，難度不是很大，屬于中檔題，運用列舉即可解決．