Question

【題目】已知數(shù)列與滿足，.

（1）若，且，求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即，求證：的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；

（3）設(shè)，求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）把bn＝3n+5代入已知遞推式可得an+1﹣an＝6，由此得到{an}是等差數(shù)列，則an可求；

（2）由an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，結(jié)合遞推式累加得到an＝2bn+a1﹣2b1，求得，進(jìn)一步得到得答案；

（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三種情況求得an的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范圍．

（1）由可得：，又，所以數(shù)列以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，即有；

（2）由可得：

……

，

將上述式子累加可得

，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，由此可得

，由于為常數(shù)，所以當(dāng)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)時(shí)，最大，即的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；

（3）由（2）可知，即，結(jié)合可得

，分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，，即，此時(shí)，由此，此情況不符合條件；

②當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)時(shí)，，由于，所以，從而“隨著增大值減小，此時(shí)，，無最小值（無限靠近0）；為奇數(shù)，，此時(shí)，由于，所以，從而隨著增大值減小，結(jié)合，可知隨著增大值增大，此時(shí)，無最大值（無限靠近0）；由此可知數(shù)列的最大值，最小值，，又，所以，解之；

③當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)時(shí)，，由于，所以，從而隨著增大值增大，此時(shí)，，無最大值（無限靠近）；為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，由于，所以，從而隨著增大值增大，結(jié)合，可知隨著增大值減小，此時(shí)，無最小值（無限靠近）；由此可知，在條件下，數(shù)列無最值，顯然不符合條件；

綜上，符合條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為.