Question

4．a(chǎn)，b為不相等的正實(shí)數(shù)，且a，x，y，b成等差數(shù)列，a，m，n，b成等比數(shù)列，則下列關(guān)系式：①x＞m；②x＞n；③y＞m；④y＞n；③x+y＞m+n．
其中一定成立的關(guān)系式的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)a，x，y，b依次成等差數(shù)列的公差為d，（d≠0），可得x=a+d，y=a+2d，b=a+3d；a，m，n，b依次成等比數(shù)列的公比為q，（q≠1），則m=aq，n=aq²，b=aq³，由b＞0，可得q＞0，所以有a+3d=aq³得到3d=aq³-a；作差可得x-m，x-n，y-m，y-n，因式分解，化簡(jiǎn)整理，即可得到x＞m，y＞n，由不等式性質(zhì)可得x+y＞m+n．

解答 解：設(shè)a，x，y，b依次成等差數(shù)列的公差為d，（d≠0），
則x=a+d，y=a+2d，b=a+3d；
a，m，n，b依次成等比數(shù)列的公比為q，（q≠1），
則m=aq，n=aq²，b=aq³，由b＞0，可得q＞0，
所以有a+3d=aq³得到3d=aq³-a；
由x-m=a+d-aq=a（1-q）+$\frac{1}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）²（q+2）＞0，
可得x＞m；
x-n=a+d-aq²=a（1-q）（1+q）+$\frac{1}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）（[3-（q-1）²]，
則x-n的符號(hào)不確定；
y-m=a+2d-aq=a（1-q）+$\frac{2}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）[$\frac{3}{2}$-2（q+$\frac{1}{2}$）²]，
則y-m的符號(hào)不確定；
y-n=a+2d-aq²=a（1-q）（1+q）+$\frac{2}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）²（1+2q）＞0，
可得y＞n；
所以x+y＞m+n．
綜上可得，一定成立的關(guān)系式的個(gè)數(shù)為3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查作差法和分解因式的方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．