Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁F₂，離心率為

3

3

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為2

6

，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點(diǎn)M的軌跡E的曲線方程；
（3）點(diǎn)A，B為曲線E上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，OA⊥OB，

OA

+

OB

=

OC

，求四邊形AOBC的面積最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得：

c a = 3 3 2ab=2 6 a2=b2+c2

，解得即可得出；
（2）點(diǎn)M滿足：|MP|=|MF₂|，由拋物線的定義可得：點(diǎn)M是以F₂為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，即可得出其軌跡E的方程．
（3）設(shè)直線OA，OB的方程分別為：y=kx，y=-

1

k

x．與拋物線方程聯(lián)立解得A(

4

k2

，

4

k

)，同理可得B（4k²，-4k）．可得S=|OA||OB|=

16 k4 + 16 k2

•

16k4+16k2

=16

k2+ 1 k2 +2

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得：

c a = 3 3 2ab=2 6 a2=b2+c2

，
解得a²=3，c=1，b²=2．
∴橢圓G的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）點(diǎn)M滿足：|MP|=|MF₂|，
∴點(diǎn)M是以F₂為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
其軌跡E的方程為：y²=4x．
（3）設(shè)直線OA，OB的方程分別為：y=kx，y=-

1

k

x．（k≠0）
聯(lián)立

y=kx y2=4x

，解得A(

4

k2

，

4

k

)，同理可得B（4k²，-4k）．
∴S=|OA||OB|=

16 k4 + 16 k2

•

16k4+16k2

=16

k2+ 1 k2 +2

≥32，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．
∴四邊形AOBC的面積最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、四邊形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．