Question

4．已知點(diǎn)O為三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影，若PA=PB=PC，則O為△ABC的外心；若PA⊥BC，PB⊥AC，則O為△ABC的垂心；若P到三邊AB，BC，CA的距離都想等且點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，則O為△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析 PA=PB=PC時(shí)，得出OA=OB=OC，O為三角形的外心；
PA⊥BC，PB⊥AC時(shí)，得出AO⊥BC，BO⊥AC，O為△ABC的垂心；
P到三邊AB，BC，CA的距離都相等，且點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，得出點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，是內(nèi)心．

解答 解：點(diǎn)O為三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影，
當(dāng)PA=PB=PC時(shí)，如圖1所示：

連接OA，OB，OC，
∵PA=PB=PC，
∵PO⊥底面ABC，
PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
所以O(shè)為三角形的外心．
O為△ABC的外心；
同理，當(dāng)PA⊥BC，PB⊥AC時(shí)，AO⊥BC，BO⊥AC，
所以O(shè)為△ABC的垂心；
當(dāng)P到三邊AB，BC，CA的距離都相等，且點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，
得出點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，
所以點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心．
故答案為：外、垂、內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的頂點(diǎn)在底面三角形內(nèi)的射影與三角形的四心（內(nèi)心、外心、垂心和重心）問題，是基礎(chǔ)題目．