Question

20．設(shè)F₁、F₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的兩個焦點，P為橢圓上的一點．當△F₁PF₂的面積為1，$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$的值為0．

Answer 1

分析 作圖，從而可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，不妨設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0）；從而可得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；從而求數(shù)量積即可．

解答 解：作圖如右圖，
由題意得，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
不妨設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0）；
△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•y=1，
即$\sqrt{3}$y=1，
故y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1解得，
x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=$\frac{8}{3}$-3+$\frac{1}{3}$=0，
故答案為：0．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)的判斷與應用，同時考查了平面向量的應用．