Question

4．某個(gè)小區(qū)為了制訂自行車(chē)棚的整修方案，進(jìn)行了一次以家庭為單位的自行車(chē)數(shù)量調(diào)查．按照家庭成員的人數(shù)采用分層抽樣的方法，一部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，其中m=2n．通過(guò)調(diào)查統(tǒng)計(jì)了每個(gè)家庭的自行車(chē)數(shù)量，將結(jié)果繪制成條形圖，如圖所示．

家庭人數(shù)	1	2	3	4	5
家庭數(shù)量	6	m	72		18
抽樣數(shù)量		4	n	10

（1）計(jì)算這個(gè)小區(qū)的家庭總數(shù)和樣本容量；
（2）根據(jù)圖中所顯示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)這個(gè)小區(qū)共有多少輛自行車(chē)．
（3）從樣本中任取兩個(gè)家庭，設(shè)這兩個(gè)家庭的自行車(chē)數(shù)量分別為a和b，記不等式x²-ax+b≤0的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為η，求η的分布列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)m=2n，由分層抽樣的性質(zhì)，得：$\frac{2n}{4}=\frac{72}{n}$，由此能求出這個(gè)小區(qū)的家庭總數(shù)和樣本容量．
（2）由條形圖得到抽到的3有自行車(chē)的數(shù)量為：11+15×2+4×3=53輛，由此能估計(jì)這個(gè)小區(qū)共有多少輛自行車(chē)．
（3）由已知得a，b的可能取值分別為1，2，3，基本事件總數(shù)n=3×3=9，利用列舉法能求出不等式x²-ax+b≤0的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)η的分布列．

解答 解：（1）∵m=2n，∴由分層抽樣的性質(zhì)，得：$\frac{2n}{4}=\frac{72}{n}$，解得n=12，
∴這個(gè)小區(qū)的家庭總數(shù)為：6+12×2+72+$10×\frac{72}{12}$+18=180，
樣本容量為：6×$\frac{4}{12}$+12+10+18×$\frac{4}{12}$=30．
（2）由條形圖得到：
抽取的30戶(hù)中，11戶(hù)都只有1輛自行車(chē)，15戶(hù)都只有2輛自行車(chē)，4戶(hù)都只有3輛自行車(chē)，
∴抽到的3有自行車(chē)的數(shù)量為：11+15×2+4×3=53輛，
∴估計(jì)這個(gè)小區(qū)共有53×$\frac{180}{30}$=318輛自行車(chē)．
（3）由已知得a，b的可能取值分別為1，2，3，基本事件總數(shù)n=3×3=9，
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），
當(dāng)（a，b）為（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，3）時(shí)，△＜0，不等式x²-ax+b≤0的解集為∅，η=0，
當(dāng)（a，b）為（2，1）時(shí)，x²-2x+1≤0的解集為{1}，η=1，
當(dāng)（a，b）為（3，1）時(shí)，x²-3x+1≤0的解集為{x|$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$≤x≤\frac{3+\sqrt{5}}{2}$}，η=2，
當(dāng)（a，b）為（3，2）時(shí)，x²-3x+2≤0的解集為{x|1≤x≤2}，η=2，
∴P（η=0）=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，
P（η=1）=$\frac{1}{9}$，
P（η=2）=$\frac{2}{9}$，
∴η的分布列為：

η	0	1	2
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣、條形圖、統(tǒng)計(jì)表的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．