Question

設(shè)命題p：函數(shù) f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域為R；命題q：不等式a＜x+

1

x

-1對?x∈（0，+∞）恒成立．如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：求出命題p，q成立的等價條件，利用“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則p，q一真一假，分類討論，確定實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：：命題p：若函數(shù)f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域為R，
則ax²-4x+a＞0恒成立．
若a=0，則不等式為-4x＞0，即x＜0，不滿足條件，
若a≠0，則

a＞0 △=16-4a2＜0

解得a＞2，即p：a＞2，
命題q：∵x∈（0，+∞），∴x+

1

x

-1≥2

x× 1 x

-1=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

即x=1時取相等）
不等式a＜x+

1

x

-1對?x∈（0，+∞）恒成立，即為a＜1
由題意“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則p，q一真一假
若p真q假，則

a＞2 a≥1

，則a＞2，
若p假q真，則

a≤2 a＜1

，則a＜1，
即實數(shù)a的取值范圍是a＞2或a＜1．

點評：本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出p，q成立的等價條件是解決此類問題的關(guān)鍵．