Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式為（　�。�

• A． ${a_n}=\frac{2}{n+1}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{n-1}$
• C． ${a_n}=\frac{n}{n+1}$
• D． ${a_n}=\frac{1}{n+1}$

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：由數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差為$\frac{1}{2}$，首項為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
可得：a_n=$\frac{2}{n+1}$．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、取倒數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．