在三棱錐P-ABC中，三側(cè)棱兩兩垂直，且PB=PC=2PA，PO垂直于面ABC，O是垂足，如果設(shè)
PA
=
a
，
PB
=
b
，
PC
=
c
，請用
a
、
b
、
c
表示
P0
：
2
3
a
+
1
6
b
+
1
6
c
2
3
a
+
1
6
b
+
1
6
c
．
分析：根據(jù)條件可知O是△ABC的垂心，利用三棱錐的體積計算公式求出PO的長度，從而求得AO與AD的關(guān)系，進而利用空間向量基本定理即可求得結(jié)果．
解答：解：不妨設(shè)：PA=1，則PB=PC=2，
∵三側(cè)棱兩兩垂直，
∴VP-ABC=
1
3
×
1
2
×1×2×2=
2
3
，
AB=AC=
5
，BC=2
2
，
∵PO垂直于面ABC，O是垂足，三側(cè)棱兩兩垂直，
∴O是△ABC的垂心，
連接AO交BC于D，則D為BC的中點，
AD=
3
，∴S△ABC=
1
2
×2
2
×
3
=
6
，
AO=
3VP-ABC
S△ABC
=
2
6
=
3
3
，
∴AO=
1
3
AD，
∴
P0
=
PA
+
AO
=
PA
+
1
3
AD

=
PA
+
1
3
×
1
2
(
AB
+
AC
)
=
PA
+
1
6
(
PB
-
PA
+
PC
-
PA
)=
2
3
a
+
1
6
b
+
1
6
c

故答案為：
2
3
a
+
1
6
b
+
1
6
c
點評：本題考查三棱錐的體積運算和空間向量基本定理，求得點O是△ABC的垂心以及AO=
1
3
AD，是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=
2
PC=
2
AC=
2
BC．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC； 
（Ⅱ）求二面角P-AB-C所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PA=1  面PAB⊥面CAB，面PAC⊥面CAB，則三棱錐P-ABC的體積是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）若∠BAC=
π3
，AB=AC=PA=2，E、F分別為棱AB、PC的中點，求線段EF的長；
（2）求證：“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•蚌埠二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點．
（I）求證：DE∥面PBC；
（II）求證：AB⊥PE；
（III）求三棱錐B-PEC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．
（1）證明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱錐D-ABC的體積．

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