Question

（2011•安徽模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n=

3

2

n²-

1

2

n，且a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）
（I）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）若c_n≤

1

4

m²+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由T_n=

3

2

n²-

1

2

n，先求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）把第一問(wèn)求出的兩數(shù)列的通項(xiàng)公式代入c_n=a_n•b_n中，確定出c_n的通項(xiàng)公式，從而求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）表示出c_n+1-c_n，判斷得到其差小于0，故數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，令n=1求出數(shù)列{c_n}的最大值，然后原不等式的右邊大于等于求出的最大值，列出關(guān)于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即為實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）由T_n=

3

2

n²-

1

2

n，易得a_n=3n-2代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)b_n=(

1

4

)n（n∈N^*），
（II）c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(

1

4

)n，∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2++(3n-2)×(

1

4

)n∴

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3++(3n-2)×(

1

4

)n+1
兩式相減整理得Sn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n
（III）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(

1

4

)n∴c_n+1-c_n=（3n+1）•(

1

4

)n+1-（3n-2）•(

1

4

)n=9（1-n）•(

1

4

)n+1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，c₂=c₁=

1

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞…＞c_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，c_n取最大值是

1

4

，又c_n≤

1

4

m²+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立∴

1

4

m²+m-1≥

1

4

，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及數(shù)列與不等式的綜合．要求學(xué)生熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及不等式恒成立時(shí)滿足的條件．