Question

過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若P為AB中點(diǎn)時(shí)，求的方程；
（Ⅱ）若|OA|+|OB|最小時(shí)，求△AOB的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的坐標(biāo)，直接由截距式方程得答案；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程的截距式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式求出|OA|+|OB|取最小時(shí)得a，b的值，代入三角形面積公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（a，0），B（0，b），
∵P（1，2）為AB的中點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，4），
∴由截距式得

x

2

+

y

4

=1，
即的方程為2x+y-4=0；
（Ⅱ）依題得直線l與x軸不垂直，設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
∴

x

a

+

y

b

=1，
又直線l過點(diǎn)P（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1，
∴|OA|+|OB|=a+b=（a+b）•（

1

a

+

2

b

）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a • 2a b

=3+2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

2a

b

時(shí)取等號，此時(shí)a=

2

+1，b=2+

2

．
∴當(dāng)a=

2

+1，b=2+

2

時(shí)，|OA|+|OB|取最小值．
∴S=

1

2

ab=

1

2

(

2

+1)•(2+

2

)=

4+3 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直線方程的截距式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對“1”的靈活運(yùn)用，是中檔題．