Question

為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，老師上課時(shí)在黑板上寫(xiě)出三個(gè)集合：A={x|x（△x-1）＜0}，B={x|2x²+x-1≤0}，C={x|log₃x＜-1}；然后叫甲、乙、丙三位同學(xué)到講臺(tái)上，并將“△”中的數(shù)告訴了他們，要求他們各用一句話來(lái)描述，以便同學(xué)們能確定該數(shù)．以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述：甲：此數(shù)為小于6的正整數(shù)；乙：A是B成立的充分不必要條件；丙：A是C成立的必要不充分條件．若老師評(píng)說(shuō)三位同學(xué)說(shuō)的都對(duì)．
（1）試求“△”中的數(shù)；
（2）求（∁_RA）∩（B∪C）．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)條件分別求出△滿足的關(guān)系，即可求出△的取值，然后根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求出結(jié)果．

解答： 解：（1）設(shè)△對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，
則由甲可知，m是小于6的正整數(shù)，
則A={x|x（△x-1）＜0}={x|0＜x＜

1

m

}，
B={x|2x²+x-1≤0}={x|-1≤x≤

1

2

}，C={x|log₃x＜-1}={x|0＜x≤

1

3

}；
∵A是B成立的充分不必要條件；A是C成立的必要不充分條件．
∴A?B，C?A，即C?A?B，
則

1

3

＜

1

m

≤

1

2

，
即2≤m＜3，
∵m是小于6的正整數(shù)，
∴m=2，即△對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，．
若老師評(píng)說(shuō)三位同學(xué)說(shuō)的都對(duì)．
（2）∵A={x|0＜x＜

1

2

}，
∴∁_RA={x|x≥

1

2

或x≤0}，
B∪C={x|-1≤x≤

1

2

}，
∴（∁_RA）∩（B∪C）={x|-1≤x≤0或x=

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．